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Théorème de Pythagore : Réciproque et contraposée – 3ème
- Vérifier si l’égalité de Pythagore est respectée.
- Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.
- Utiliser la contraposée du théorème de Pythagore.
- Questions de brevet.
- Pour aller plus loin.
Prérequis : Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore.
▸ Soit ABC un triangle rectangle en A. On a alors l’égalité de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
Dans cette égalité, le terme seul est la longueur de l’hypoténuse.
Cette égalité sert donc à calculer une longueur en connaissant les 2 autres.
Vérifier si l’égalité de Pythagore est respectée.
Vérifier si l’égalité de Pythagore est respectée.
Méthode pour tester l’égalité de Pythagore dans un triangle
Etape ① : Je commence par déterminer quel est le plus grand côté du triangle (si celui-ci est rectangle, ce côté sera l’hypoténuse).
Etape ② : Je mets cette longueur au carré.
Etape ③ : Je mets les 2 autres longueurs au carré puis je les additionne.
Etape ④ : Je vérifie s’il y a égalité entre les 2 termes des étapes 2 et 3.
Exemple : On considère le triangle ABC ci-contre.
Le plus grand côté est [BC] car 6 > 5 et 6 > 3.
Je calcule d’une part : BC² = 6² = 36, et d’autre part :
AB² + AC² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34.
On a ici BC² ≠ AB² + AC² : l’égalité de Pythagore n’est pas respectée.
Voici 3 triangles (ils ne sont pas à l’échelle).
Pour le(s)quel(s) l’égalité de Pythagore est-elle vérifiée ?
On construit un triangle BCD tel que BC = 4,8 ; CD = 5 et BD = 3,6.
1. L’égalité de Pythagore est-elle vérifiée ?
2. On conserve les longueurs BC et BD du triangle mais on augmente CD. Quelle doit alors être la longueur CD pour que l’égalité soit vérifiée ?
Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.
Méthode pour justifier qu’un triangle est rectangle
à l’aide de la réciproque du théorème de Pythagore
Etape ① : Je détermine le plus long côté du triangle.
Etape ② : Je mets sa longueur au carré.
Etape ③ : Je calcule séparément la somme des carrés des 2 autres côtés.
Etape ④ : Si ces 2 termes sont égaux, l’égalité de Pythagore est vérifiée et je conclus à l’aide de la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle est rectangle (je détermine en quel sommet à partir de l’égalité !).
Exemple : Voici un triangle ABC. On cherche à déterminer si celui-ci est rectangle et en quel sommet.
Le plus long côté est [AC].
Je calcule d’une part : AC² = 13² = 169.
Je calcule d’autre part : AB² + BC² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169.
L’égalité de Pythagore est vérifiée : AC² = AB² + BC².
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
Voici un triangle MNP.
1. L’égalité de Pythagore est-elle vérifiée pour ce triangle ?
2. Déduis-en sa nature en justifiant.
Pour chaque situation, choisis l’unique bonne réponse.
EFR est rectangle
en E EFR n’est pas rectangle EFR est rectangle en R
Soit ABC un triangle tel que AB = 3, BC = 4 et AC = 5.
(AB) ⟂ (AC) (AB) ⟂ (BC) (AC) ⟂ (BC)
Soit DEF un triangle rectangle en F.
DE² ≠ DF² + FE² FD² = FE² + ED² DE² = DF² + FE²
Voici un quadrilatère. Précise sa nature en justifiant.
Capucine place des livres sur son étagère et souhaite vérifier qu’ils sont bien placés à la verticale. Pour cela, elle prend les mesures suivantes :
DC = 10,4 cm ; CE = 19,5 cm et DE = 22,1 cm.
Vérifie pour elle si ses livres sont bien positionnés !
Utiliser la contraposée du théorème de Pythagore.
Méthode pour justifier qu’un triangle n’est pas rectangle
à l’aide de la contraposée du théorème de Pythagore
Lorsque l’on détermine si l’égalité de Pythagore est vérifiée, il peut arriver que ce ne soit pas le cas !
Dans cette situation, on conclut que le triangle n’est pas rectangle à l’aide de la contraposée du théorème de Pythagore.
La démarche est donc la même (calcul des 2 termes de l’égalité de Pythagore), il suffit uniquement de vérifier si les 2 termes sont égaux, ou non, afin de choisir la contraposée (non rectangle) ou la réciproque (rectangle).
Exemple : Voici un triangle ABC. On cherche à déterminer si celui-ci est rectangle.
Le plus long côté est [AC].
Je calcule d’une part : AC² = 10² = 100.
Et d’autre part : AB² + BC² = 9² + 3² = 81 + 9 = 90.
L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée : AC² ≠ AB² + BC².
D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle.
Réciproque et contraposée – 3ème – Mon Pass Maths pdf
Réciproque et contraposée – 3ème – Mon Pass Maths rtf
Correction Réciproque et contraposée – 3ème – Mon Pass Maths pdf
