Cours pour la 3ème sur les nombres premiers et simplification de fractions.
Nombres premiers
Définition (nombre premier) : Un nombre premier est un nombre entier positif qui possède exactement deux diviseurs distincts : lui-même et 1.
Exemples :
– 0 n’est pas premier car 0 a une infinité de diviseurs.
– 1 n’est pas premier car 1 n’a qu’un seul diviseur : lui-même.
– 2 est premier car 2 possède exactement deux diviseurs : 1 et 2. Le nombre 2 est le plus petit nombre premier. C’est aussi le seul nombre premier pair.
– 3 est premier car 3 possède exactement deux diviseurs : 1 et 3. Le nombre 3 est le plus petit nombre premier impair.
– Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 100 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.
Propriété : Il existe une infinité de nombres premiers.
Décomposition d’un nombre en un produit de facteurs premiers
Propriété (décomposition en un produit de facteurs premiers) : Tout nombre entier positif strictement supérieur à 1 peut s’écrire de façon unique (à l’ordre des facteurs près) comme un produit de facteurs premiers.
Exemples : Voici la décomposition en un produit de facteurs premiers des nombres suivants :
2=2 (en effet 2 est un nombre premier)
12=2×6=2×2×3 (vérification : 2 et 3 sont bien des nombres premiers)
60=2×30=2×2×15=2×2×3×5
1365=5×273=5×3×91=5×3×7×13
7986=2×3993=2×3×1331=2×3×11×121=2×3×11×11×11
Méthode : Comme tu le vois dans les exemples ci-dessus, pour obtenir la décomposition en un produit de facteurs premiers d’un nombre N non premier, tu dois :
① Trouver un diviseur premier p de N (pour cela, je dois connaitre les critères de divisibilité d’un nombre et au moins les 10 premiers nombres premiers).
② Effectuer la division de N par p :
→ si le nombre obtenu est premier, c’est terminé.
→ Sinon, tu dois à nouveau :
– trouver un diviseur premier p’ du nombre obtenu,
– effectuer la division du nombre obtenu par p’,
– et ainsi de suite, jusqu’à ce que tu obtiennes un nombre premier à la fin.
Exemple : On souhaite décomposer le nombre 2478 en un produit de facteurs premiers :
Je cherche un nombre qui soit à la fois premier ET diviseur de 2478 :
↪ Je teste avec le nombre premier 2. 2478 est pair donc 2 est à la fois premier et diviseur de 2478. 2478 = 2 x 1239
↪ Je teste avec le nombre premier 3. 1239 → 1 + 2 + 3 + 9 = 15 donc 3 est à la fois premier et diviseur de 1239. 2478 = 2 x 3 x 413
↪ Je teste avec le nombre premier 5. 413 ne finit ni par 5 ni par 0 donc 5 n’est pas un diviseur de 413.
↪ Je teste avec le nombre premier 7. 413 = 7 x 59 2478 = 2 x 3 x 7 x 59
Tous les facteurs sont premiers, la décomposition est terminée.
Finalement, 2478 = 2 x 3 x 7 x 59 (avec les facteurs rangés dans l’ordre croissant).
Simplification de fractions
La décomposition en un produit de facteurs premiers est notamment utile pour simplifier une fraction.
Exemples :
210/75=(2×3×5×7)/(5×5×3)=14/5 2380/53550=(17×2×2×5×7)/(17×5×5×2×3×3×7)=2/45
132/198=(2×2×3×11)/(2×3×3×11)=2/3 164255/377245=(19×19×13×5×7)/(19×19×19×11×5)=91/209
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