Fonctions affines – 3ème – Brevet des collèges avec Mon Pass Maths – PDF à imprimer

Prérequis : Généralités sur les fonctions

• Je sais calculer l’image d’un nombre par une fonction.
• Je sais représenter graphiquement une fonction : à un couple (antécédent ; image) correspond un point du graphe (abscisse ; ordonnée).

Fonctions affines

Je sais reconnaitre et utiliser une fonction affine

Une fonction f est affine si son expression algébrique est de la forme :
f(x)=ax+b
avec a appelé le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine

Remarque : si on a l’ordonnée à l’origine égale à 0 (b=0) on retrouve l’expression d’une fonction linéaire. Ainsi une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine, ou une fonction affine est une généralisation d’une fonction linéaire !

Exemple : Une piscine propose un abonnement à 7 € donnant droit à un ticket d’entrée à 4 € l’unité.
On note n le nombre d’entrées, et le prix à payer pour n entrées se modélise par la fonction f définie par : f(n) = 7 + 4n.
Il s’agit d’une fonction affine avec a = 4 et b = 7.
On peut renseigner des prix dans un tableau de valeurs :
Nombre d’entrées 3 5 10
Prix en € 19 27 47

Attention : ici le prix n’est PAS proportionnel au nombre d’entrées (il ne s’agit pas d’une fonction linéaire). Ainsi je ne DOIS PAS utiliser un produit en croix pour compléter le tableau !
Je dois nécessairement utiliser la fonction : par exemple f(3) = 7 + 4×3 = 19.

Complète le tableau suivant, en cochant pour chaque fonction s’il s’agit d’une fonction affine, linéaire, les 2. Précise lorsque cela est pertinent les valeurs de a et/ou b.
Expression de f Est-elle linéaire ? Est-elle affine ? a = b =
f(x)=6x-3 ………. ………. ………. ……….
f(x)=-4,5x ………. ………. ………. ……….
f(x)=2x^2+1 ………. ………. ………. ……….
f(x)=3,2(x+2) ………. ………. ………. ……….
f(x)=2x^2+1 ………. ………. ………. ……….
f(x)=2/3-3/8 x ………. ………. ………. ……….

Voici un programme de calcul :
a. Choisir un nombre
b. Ajouter 4
c. Le multiplier par 2,5
d. Ajouter le triple du nombre de départ

1. Qu’obtient-on en appliquant le programme avec -10 pour nombre de départ ?
2. Exprime le résultat en fonction du nombre de départ par une fonction f. Celle-ci est-elle affine ? Si oui précise ses éléments caractéristiques.
3. Quel sera le résultat du programme si on l’utilise avec 6 ? Avec -0,5 ?
Killian achète des légumes chez le primeur. Il a déjà dans son panier des courgettes pour un prix de 4,6 €. Il achète ensuite des tomates à 3,2 € le kilo.

1. Modélise le prix qu’il va payer en fonction de la masse de tomates achetée par une fonction. Précise si celle-ci est affine ou non.
2. Le prix à payer est-il proportionnel à la masse de tomate ? Justifie.
3. Quel sera le prix s’il achète 2,5 kilos de tomates ? Et 5 kilos ?
4. Vérifie à l’aide de la question précédente qu’il n’y a effectivement pas proportionnalité.

Représentation graphique.

Représenter graphiquement une fonction affine

Le graphe d’une fonction affine est une droite (qui ne passe pas forcément par l’origine sauf si c’est une fonction linéaire).

Je lis le graphe d’une fonction affine :
① La droite « monte » si a > 0 et « descend » si a < 0. ② La droite passe par le point (0 ; b). Le nombre b représente donc l’ordonnée du point d’abscisse 0 (l’ordonnée à l’origine). Exemple : Pour la fonction représentée ci-contre : a > 0 et b = -1 (la droite passe par le point (0 ; -1).

Je trace le graphe d’une fonction affine :
① Je calcule les coordonnées d’un point (d’abscisse
non nulle).
② Je place le point précédent ainsi que le point (0 ; b).
③ Je trace la droite passe par ces 2 points.
Exemple : Soit f la fonction définie par :
f(x)=-x+0,5.
Je calcule f(1)=-1+0,5=-0,5.
On a b = 0,5.
La droite passe par les points (1 ; -0,5) et (0 ; 0,5).
Voici les graphes de 3 fonctions.
1. Pour chacune d’entre elles, justifie si elle est affine.
2. Donne le signe du coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine des fonctions affines.

Un opérateur propose un forfait incluant la location d’une box en plus du prix à payer, dépendant du nombre de gigas consommés.
Le prix total en fonction du nombre de gigas est représenté ci-contre.
1. La fonction f est-elle affine ? Si oui précise ses caractéristiques.
2. Quel est le prix de la location de la box ?
3. Quel est le prix total pour une consommation de 10 gigas ? de 20 gigas ?

Voici une figure composée de 2 rectangles ABCD et CDEF.
1. Modélise l’aire de la figure en fonction de la longueur x par une fonction f.

2. Représente cette fonction sur le graphe en détaillant ta méthode.

Comparer des fonctions affines

J’utilise les graphes pour comparer des fonctions affines

Lorsque 2 fonctions affines sont représentées graphiquement, il est possible de les comparer.

Exemple : Voici les représentations de 2 fonctions affines f et g.
Graphiquement on voit que :
① Les fonctions sont égales pour x=2 (point d’intersection).
② f est supérieure si x est compris entre 0 et 2
③ f est inférieure si x est supérieur à 2

Remarque : Si les fonctions représentent le coût d’un produit pour 2 offres, cette comparaison
est très utile pour savoir quelle offre est la plus intéressante !
Max souhaite s’abonner à un magazine scientifique. Il hésite entre 2 : A « science & vie » et B « sciences et avenir ».
Les 2 affichent leur tarif en fonction du nombre de mois d’abonnement.
S’il décide d’opter pour le moins cher, détaille quel sera son choix en fonction de la durée de son abonnement.

Une piscine propose 2 offres d’abonnements mensuels :
A : « Carte à 10 € puis 4 € l’entrée » ou B « Carte à 5 € puis 6 € l’entrée »
1. Modélise le prix en fonction du nombre d’entrée x pour chacun des 2 abonnements par 2 fonctions f et g.
2. Trace les graphes de ces fonctions dans le repère.

3. A partir de combien d’entrées dans le mois l’offre A devient plus intéressante ?

Questions de brevet.

Pour se promener le long d’un canal, deux sociétés proposent une location de bateaux électriques. Les bateaux se louent pour un nombre entier d’heures.
– Le tarif proposé par la société A en fonction du nombre d’heures de location est représenté sur le graphique ci-dessous.
– La société B propose le tarif suivant : 60 € de frais de dossier plus 15 € par heure de location.

1. Etude du tarif proposé par la société B :
a. Montrer qu’en louant un bateau pour une durée de 2 heures, le prix à payer sera de 90 €.
b. On désigne par x le nombre d’heures de location. On appelle f la fonction qui,
au nombre d’heures de location, associe le prix, en euro, avec le tarif proposé par
la société B. On admet que f est définie par : f(x)=15x+60.
Sur le graphique donné ci-dessous, tracer la courbe représentative de la fonction f.

2. Comparaison des deux tarifs :
On souhaite louer un bateau pour une durée de 3 heures.
Quelle société doit-on choisir pour avoir le tarif le moins cher ?
Quel prix va-t-on payer dans ce cas ?

Pour aller plus loin.

Sur le site de , tu trouveras d’autres ressources pour réviser cette notion :

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