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Factoriser à l’aide d’une identité remarquable – 3ème
- Factoriser avec une identité remarquable.
- Factoriser une expression littérale.
- Questions de brevet.
- Pour aller plus loin.
Prérequis : cours « Factoriser une expression littérale » et « Développer et réduire une
expression littérale ».
▸ Factoriser une expression littérale, c’est transformer une somme (ou différence) en un
produit. C’est le contraire de développer :
→ Il faut repérer le facteur commun.
→ On regroupe dans une parenthèse les autres facteurs, en addition ou soustraction.
Factoriser avec une identité remarquable.
Méthode pour factoriser une identité remarquable
Soient a et b deux nombres quelconques, on a l’identité remarquable :
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
Pour factoriser à l’aide de cette identité remarquable :
① on repère l’identité remarquable comme la différence de deux carrés ;
② on identifie a et b ;
③ on applique l’identité, sous sa forme factorisée.
Exemples :
A=9x^2-25
A=〖(3x)〗^2-5^2
A=(3x-5)(3x+5) → on repère la différence de deux carrés
→ on identifie a = 3x et b = 5 dans a^2-b^2
→ on remplace a par 3x et b par 5 dans (a-b)(a+b)
B=(4x-7)^2-100
B=(4x-7)^2-〖10〗^2
B=(4x-7-10)(4x-7+10)
B=(4x-17)(4x+3) → on repère la différence de deux carrés
→ on identifie a = 4x-7 et b = 10 dans a^2-b^2
→ on remplace a par 4-7x et b par 5
dans (a-b)(a+b)
Complète :
L’expression… 9 25x² 4x² 100 36x² 16x²
est le carré de …
Complète les factorisations suivantes :
〖A=x〗^2-16=x^2- 〖… 〗^2
Il s’agit de a^2-b^2 avec a= … et b= … ,
donc : A=(x- … )(x+ … ) B=9x^2-25=( … )^2- … ^2
Il s’agit de a^2-b^2 avec a= … et b= … ,
donc : B=( … – … )( … + … )
Factorise les expressions suivantes grâce à l’identité remarquable :
C=x^2-64
Complète les factorisations suivantes :
F=(2x-3)^2-36
F=(2x-3)^2- …²
Il s’agit de a^2-b^2 avec a= ……… et b= …
F=( ( ……… )- … )( ( ……… )+ … )
F=( ……… )( ……… )
G=〖100-(x+3)〗^2
G=〖 … 〗^2-(x+3)^2
Il s’agit de a^2-b^2 avec a= … et b= ………
G=( … -( ……… ))( … +( ……… ))
G= ( …………… )( …………… )
G= ( ………… )( ………… )
Factorise les expressions suivantes :
Un professeur demande à ses élèves :
Alors que beaucoup soupirent devant l’apparente difficulté de ce calcul, très rapidement Malicia lève la main ! Mais elle est très timide et parle tout bas…
Ses camarades n’entendent pas sa réponse, mais seulement la fin de son explication :
1. Retrouve la démarche de Malicia, détaille son calcul, et donne le résultat.
2. De même, calcule astucieusement :
75²-25²
Factoriser une expression littérale
Méthode pour factoriser une expression littérale.
Etape ① : j’identifie le cas de factorisation :
ou
→ je repère un facteur commun :
k×a+k×b ou k×a-k×b → je repère la différence de deux carrés :
a^2-b^2
Etape ② : j’applique la factorisation :
→ avec la distributivité :
k×a+k×b=k×(a+b) k×a-k×b=k×(a-b) → avec l’identité remarquable :
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
Remarques :
Une factorisation est terminée quand l’expression est un produit.
Une factorisation peut s’effectuer en plusieurs étapes.
Une expression n’est pas toujours « factorisable ».
Exemples :
A=(2x+7)(x+5)+x²-25
① j’identifie la différence de deux carrés.
A=(2x+7)(x+5)+x²-5² ② j’applique l’identité remarquable.
A=(2x+7)(x+5)+(x-5)(x+5)
③ je repère un facteur commun.
A=(x+5) ((2x+7)+(x-5)) ④ je factorise avec la distributivité.
A=(x+5)(3x+2)
Forme factorisée (produit)
Parmi les expressions suivantes, entoure celles qui correspondent à un produit, c’est-à-dire qui sont sous forme factorisée :
(3x+2)(4x-5) (7x-2)-(3x+1) 2x+(4×x-1) 3(4x-6)
x^2-5x x^2 (3-x) (x+1)^2-9 (x+4)(2x+1)+3
Parmi les expressions suivantes, entoure :
en bleu celles que tu reconnais comme ayant un facteur commun ;
en rouge celles que tu reconnais comme étant la différence de deux carrés.
4x^2-121 〖2x〗^2-16 25x^2-1 16x^2-25x
x^2-100 (2x+3)^2-9x^2 9x^2+49 (x-8)^2-(4x+3)^2
Factorise si possible les expressions suivantes :
J=x^2-7x
L=9x^2+25
N=25x^2-1-3x(5x+1)
K=(x-8)^2-16
M=(4x-1)^2-6(4x-1)
1. Factorise P=〖(x+5)²-9x〗^2.
2. En déduire la forme factorisée de l’expression : Q=〖(x+5)²-9x〗^2-(x-7)(4x+5).
3. Calcule Q pour x=5. Détaille les calculs.
On considère le programme de calcul suivant :
1. Vérifie qu’en effectuant ce programme avec – 4 on obtient un résultat de 160.
2. Soit x le nombre de départ, et R le résultat du programme de calcul ; exprime R en fonction de x.
3. Prouve que R=(5x+10)(5x+4).
4. Victor prétend que si on choisit un nombre entier comme nombre de départ, le résultat sera forcément un multiple de 5. Que penser de son affirmation ?
Questions de brevet.
1. Une forme factorisée de l’expression littérale 4x^2 -9 est…
Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D
(4x -3)(4x +3) (2x -3)(2x +3) 〖(2x -3)〗^2 (4x -9)(4x +9)
2. Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse, en justifiant la réponse :
« Pour tout nombre x, 〖(2x +1)〗^2 -4=(2x +3)(2x-1).»
3. On considère l’expression E = (x -2)(2x +3)-3(x -2). Factoriser E.
4. La figure ci-dessous donne un schéma d’un programme de calcul.
a. Si le nombre de départ est 1, montrer que le résultat obtenu est −15.
b. Si on choisit un nombre quelconque x comme nombre de départ, parmi les expressions suivantes, quelle est celle qui donne le résultat obtenu par le programme de calcul ? Justifier.
A=(x^2-5)×(3x +2) B = (2x -5)×(3x +2) C = 2x -5×3x +2
c. Lily prétend que l’expression D=(3x +2)²-(x +7)(3x +2) donne les mêmes résultats que l’expression B pour toutes les valeurs de x. L’affirmation de Lily est-elle vraie ? Justifier.
Pour aller plus loin.
Sur le site de , tu trouveras d’autres ressources pour réviser cette notion :
Séquence complète
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Correction Factoriser à l’aide d’une identité remarquable – 3ème – Brevet des collèges avec MPM pdf
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