Qu’est-ce que le théorème de Gauss ? – CRPE 2025 – PDF à imprimer

Le théorème de Gauss :

Soient a, b et c trois entiers non nuls.

Si a divise le produit b x c et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.

Le théorème de Gauss sert à déterminer un ensemble de solutions et à résoudre un calcul.

Nombres premiers entre eux

Deux nombres sont premiers entre eux, si leur seul diviseur commun est 1.

Exemple :

5 = 5

12 = 3 x 2²

Ils n’ont aucun nombre premier en commun.

Donc, 5 et 12 sont premiers entre eux, car leur seul diviseur commun est 1.

Théorème de Gauss :

Le produit de a x b = 5 x 60 = 300

300 / n = 300 / 12 = 25

« n est premier avec a »

« n divise le produit de a x b donc n divise b (60 / 12 = 5) »

Application :   Résoudre l’équation  3(x-8) = 11y

(x-8) = 11y /3       donc 3 divise le produit 11 x y (1^ère condition du théorème)

Le PGCD (3 ; 11) = 1     donc 3 et 11 sont premiers entre eux ( 2^ème condition du théorème)

Donc, par le théorème de Gauss 3 divise y.

Ainsi y = 3 x K (K étant un nombre entier)

Remplaçons donc cette donnée dans l’équation de base 3(x-8) = 11y

3(x-8) = 11 x 3K

On simplifie :   3(x-8) = 11 x 3K

x – 8 = 11k

et donc              x = 11k +8

                            y = 3K