Cours en nombres et calculs pour la 5ème sur les nombres premiers.
- Nombres premiers :
Définition : Un nombre est premier s’il ne possède exactement que 2 diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples :
- 5 ne possède que 2 diviseurs : 1 et 5. C’est un nombre premier.
- 8 possède 4 diviseurs : 1, 2, 4 et 8. Ce n’est pas un nombre premier.
Remarques :
- Le nombre 0 n’est pas premier car il est divisible par 1, 2, 3 …
- Le nombre 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un unique diviseur : 1 (lui-même).
- Il existe une infinité de nombres premiers.
Il existe au total 25 nombres premiers inférieurs à 100 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, et 97.
- Décomposition en produit de facteurs premiers :
Propriété : Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique.
Méthode : Pour trouver la décomposition d’un nombre entier a :
- Je commence par écrire a comme le produit de 2 entiers b et c : a = b × c.
- Je poursuis en décomposant b et c (s’ils ne sont pas premiers).
- En continuant le procédé, il ne reste à la fin que des facteurs premiers !
Exemple : On souhaite décomposer le nombre 180 en produits de facteurs premiers :
- J’écris : 180 = 90 × 2. 2 est premier : je décompose uniquement 90 : 90 = 45 × 2
- 180 = 45 × 2 × 2 Je décompose 45 = 15 × 3
- 180 = 15 × 3 × 2 × 2 Je décompose 15 = 5 × 3
- 180 = 5 × 3 × 3 × 2 × 2 Tous les facteurs sont premiers : je m’arrête.
Finalement : 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5.
