Cours pour la 4ème sur les nombres premiers.
Nombres premiers
Définition et propriété : un nombre premier est un nombre entier positif qui possède exactement deux diviseurs distincts : lui-même et 1. Il existe une infinité de nombres premiers.
Exemples :
– 0 n’est pas premier car 0 a une infinité de diviseurs.
– 1 n’est pas premier car 1 n’a qu’un seul diviseur : lui-même.
– 2 est premier car 2 possède exactement deux diviseurs : 1 et 2. Le nombre 2 est le plus petit nombre premier. C’est aussi le seul nombre premier pair.
– 3 est premier car 3 possède exactement deux diviseurs : 1 et 3. Le nombre 3 est le plus petit nombre premier impair.
– 4 n’est pas premier car 4 possède trois diviseurs : 1, 2 et 4.
– Voici la liste des 25 nombres premiers inférieurs à 100 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.
Il est important de les connaître car ils te permettent de décomposer plus facilement un nombre en produit de facteurs premiers.
Ø Décomposition d’un nombre en un produit de facteurs premiers
Propriété : Tout nombre entier positif strictement supérieur à 1 possède au moins un diviseur premier et peut s’écrire de façon unique (à l’ordre des facteurs près) comme un produit de facteurs premiers.
Exemples : Voici la décomposition en un produit de facteurs premiers de certains nombres :
(en effet est un nombre premier)
(vérification : et sont bien des nombres premiers)
(en effet, est premier)
Méthode : Comme tu le vois dans les exemples ci-dessus, pour obtenir la décomposition en un produit de facteurs premiers d’un nombre N non premier, tu dois :
① Trouver un diviseur premier p de N (pour cela, je dois connaitre les critères de divisibilité d’un nombre et au moins les 10 premiers nombres premiers).
② Effectuer la division de N par p :
– si le nombre obtenu est premier, c’est terminé. Sinon, tu dois à nouveau trouver un diviseur premier p’ du nombre obtenu,
– effectuer la division du nombre obtenu par p’,
– et ainsi de suite, jusqu’à ce que tu obtiennes un nombre premier à la fin.
Exemple : On souhaite décomposer le nombre 1365 en produit de facteurs premiers :
- Je cherche un nombre qui soit à la fois premier ET diviseur de 1365: ce n’est pas 2 car le nombre est impair ; 1 + 3 + 6 + 5 = 15, donc ce dernier est divisible par 3 (qui est bien un nombre premier), donc :
- Je regarde si tous les facteurs sont premiers : 455 n’est pas premier car d’après les critères de divisibilité 455 est aussi divisible par 5 (qui est un nombre premier) donc :
1365 = 3 x 455 = 3 x 5 x 91
❸ Je cherche si 91 est premier ; pour ce faire, je regarde si 91 possède un critère de divisibilité évident ou alors je divise 91 par un nombre premier, je trouve que 91 est divisible par 7 donc 91 = 7 x 13.
7 et 13 sont premiers. Finalement, 1365 = 3 x 5 x 7 x 13 (avec les facteurs rangés dans l’ordre croissant). Tous les facteurs sont premiers, la décomposition est terminée.
