Cours sur les lois de probabilité sur un ensemble fini – Terminale
Définition
Soit Ω= { , ,…, } un ensemble fini.
On définit une loi de probabilité sur Ω en donnant la probabilité de chaque issue, c’est-à-dire les nombres , ,…, tels que :
· Pour tout i de {1,2,…, n}, ;
pi est la probabilité élémentaire de l’événement {ai} et on note
pi=p({ai}) ou parfois plus simplement p(ai).
La probabilité d’un événement E est la somme des probabilités de toutes les issues appartenant à E.
II. Propriétés
Soit Ω un ensemble fini muni d’une loi de probabilité p.
PΩ=1 (La probabilité de l’événement certain est égale à1).
PØ=0 (La probabilité de l’événement impossible est nulle).
Pour tout événement E, 0≤ p(E) ≤ 1 .
p (E)=1-p(E)
Si A et B sont deux événements quelconques alors p(A U B)=p(A)+p(B)-p(A∩B) .
Si A et B sont deux événements incompatibles alors p(A U B)=p(A)+p(B).
Dans le cas où toutes les issues ont la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité et, pour tout événement E, on a :
P(E)=cardEcard Ω=nombredecasfavorablesnombredecaspossibles
Où card E et card Ω désignent respectivement le nombre d’éléments de E et de Ω.
III. Espérance, variance, écart-type
L’espérance mathématique de X est le réel noté E (X) et défini par :
EX=x1p1+x2p2+…+xnpn=i=1nxipi
La variance de X est le réel noté V(X) et défini par :
VX=(x1-EX)2p1+(x2-EX)2p2+…+(xn-EX)2pn=i=1n(xi-EX)2pi
L’écart-type de X est le réel noté σ(X) et défini par :σX=V(X)
Pour tous réels a et b :EaX+b=aEX+b, VaX+b=a2V(X)
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