Terminale – Cours sur la loi à densité sur un intervalle – Terminale
Variable aléatoire continue
- On considère une expérience aléatoire. Si X est une variable aléatoire discrète prenant un nombre fini de valeurs, sa loi de probabilité est une fonction qui associe à toute valeur de k prise par X sa probabilité P(X = k).
- Dans ce cours, on s’intéresse à des variables aléatoires X qui prennent leurs valeurs dans un intervalle ; on dit qu’elles sont continues. Comme il y a une infinité de nombres dans un intervalle, on imagine que la probabilité qu’une telle variable aléatoire X prenne une valeur fixée k est nulle. On cherche alors à calculer la probabilité que X prenne des valeurs dans un intervalle inclus dans l’intervalle de départ.
Définition d’une loi à densité
- Soient a et b deux réels et f une fonction définie, continue et positive sur l’intervalle [a; b]. Si l’aire sous la courbe représentative de f sur [a ; b] est égale à 1, on dit que la fonction f est une densité de probabilité sur l’intervalle [a ; b].
- On a vu dans les chapitres précédents (intégration) que l’aire, exprimée en unité d’aire, sous la courbe d’une fonction f continue et positive sur [a; b] est l’intégrale :
En posant, pour tout x de [a ; b], , on définit une loi de probabilité d’une variable aléatoire X continue sur [a ; b] ; la fonction f est la densité de probabilité de cette loi.
Espérance mathématique
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X à densité sur [a ; b] est : …
