Comment enseigner la division en CM1 ?
La division posée de nombres entiers est une opération complexe dont le sens est travaillé dès le cycle 1 à travers des situations de partage ou de calculs en ligne. Cet algorithme qui combine à la fois multiplication et soustraction perd plus d’un élève à travers ses multiples étapes et calculs intermédiaires. Néanmoins, l’idée est bien d’utiliser la division posée en CM1 non pas pour elle-même, mais pour résoudre de manière experte des problèmes mathématiques. Voyons ensemble comment construire vos cours sur la division posée en CM1 et contribuer à la réussite de tous vos élèves.
Maîtriser la division en ligne
Avant d’aborder l’algorithme, il faut s’assurer que tous les élèves possèdent les faits numériques indispensables comme :
- la connaissance des doubles, des moitiés, des triples, des quarts de nombres entiers d’usage courant ;
- l’utilisation de certaines relations entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30 et 60.
Même si la division posée a déjà été abordée en CE2 (diviseur à un chiffre, quotient entier), revenez sur l’usage de cette opération notamment à travers le calcul en ligne. Tout d’abord avec un dividende qui est un multiple du diviseur (ex. : 48 divisé par 6) puis avec un dividende plus grand (ex. : 78 divisé par 6). Dans le deuxième cas, les élèves devront faire des déductions à partir de leurs connaissances (le quotient sera forcément plus grand que 10 puisque 6 x 10 = 60). Enfin, il convient d’introduire la notion de reste dans des calculs en ligne avec un dividende à 2 ou 3 chiffres.
L’appui sur les tables de multiplication et les faits numériques énoncés précédemment est absolument nécessaire. En effet, lorsqu’on résout une division du type 56 divisé par 7, on se demande : « 56, c’est combien de fois 7 » ? Ce calcul sera une étape intermédiaire de l’algorithme en colonne. Ainsi, anticipez le travail sur la division posée en CM1 en mettant l’accent sur l’apprentissage par cœur des tables.
Identifier les difficultés spécifiques de la division posée
La division posée présente un certain nombre de caractéristiques qu’il faut cerner pour guider les élèves.
Tout d’abord, c’est une opération à plusieurs niveaux qui mobilise la multiplication et la soustraction. Il faut donc être performant en calcul mental et maîtriser, comme on l’a déjà dit, ses tables. Ensuite, elle nécessite de faire des calculs provisoires (notamment lorsque le diviseur est composé de plusieurs chiffres) ce qui est inhabituel pour les élèves. De même, le résultat de cette opération interpelle : elle est constituée de deux nombres (quotient et reste) ce qui n’est pas le cas de l’addition, de la soustraction ou de la multiplication. Enfin, sa complexité induit pour certains enfants une surcharge cognitive qui les éloigne de la résolution.
C’est pourquoi nous préconisons les étapes suivantes pour aborder la division posée en CM1 :
- Apprendre par cœur les tables de multiplication ;
- Résoudre des divisions en ligne avec un dividende multiple du diviseur ;
- Calculer des divisions en ligne avec un dividende multiple du diviseur, mais qui se situe hors de la table ;
- Proposer une division exacte sans reste et sans retenue ;
- Résoudre une division exacte avec des retenues dans les étapes intermédiaires ;
- Calculer une division avec reste (avec ou sans retenue) ;
- Effectuer des divisions posées avec un diviseur à 2 chiffres ;
- Supprimer les étapes intermédiaires pour atteindre la méthode usuelle de la division euclidienne.
Travailler l’algorithme de la division posée CM1 de façon à créer des automatismes
Les programmes de mathématiques en cycle 3 de l’école primaire insistent sur l’automatisation des algorithmes posés. Ainsi, les élèves devront s’exercer à un rythme assez soutenu en début d’apprentissage pour acquérir l’aisance et le confort d’exécution attendu.
La technique la plus couramment enseignée est celle de la division euclidienne. Ne brûlez pas les étapes et enseignez à vos élèves comment poser une opération propre et claire (tracé de la potence, dividende à gauche, diviseur à droite, 1 chiffre par carreau.). Ensuite, entraînez-les à évaluer l’ordre de grandeur du quotient afin de déterminer le nombre de chiffres de ce dernier. Enfin, il faut calculer, rang par rang, en commençant par le premier chiffre du dividende.
Néanmoins, la rapidité et l’efficacité du calcul ne sont pas un objectif en soi. En effet, le cadre de prédilection de la division posée en CM1 reste la résolution de problèmes. Donc, il faut proposer un entraînement technique lors de séances d’exercices de maths en CM1, mais surtout confronter les élèves à des situations de divisions.
Utiliser la division posée dans le cadre de la résolution de problèmes
Les problèmes de divisions sont de deux natures : la division partage (ou division partition) et la division groupement (ou division quotition).
La division partage
Ces problèmes correspondent à des situations de partage ou de distribution. On cherche la valeur de chaque part.
Ex. : 753 stylos sont partagés équitablement entre 6 classes. Combien de stylos chaque classe aura-t-elle ? Restera-t-il des stylos ?
On a donc une quantité de départ (753) et le nombre de parts (6) dont on cherche la valeur.
La division groupement
Dans ce cas, on est dans une situation de groupements où l’on veut trouver le nombre de parts.
Ex. : On a 517 magazines et on veut envoyer des lots de 4 magazines par paquets. Combien de lots peut-on faire ? Restera-t-il des magazines ?
Ici, la quantité est connue (517), la valeur de la part aussi (4).
La première situation, abordée depuis la maternelle, se présente plus facilement comme un problème de division (c’est le fameux « partage équitable ») tandis que la seconde modalité est beaucoup moins familière. Par ailleurs, pour travailler tous les cas de figure possibles, il faut proposer des problèmes qui appellent une division exacte, une division avec des retenues dans les calculs intermédiaires et une division avec reste. La complexité de l’énoncé permet aussi de continuer à travailler le sens de la division.
La division posée en CM1 est donc le dernier calcul, et pas des moindres, abordé à la fin de l’école primaire. Elle se décline en plusieurs cas de figure qu’il convient d’étudier pas à pas pour permettre aux élèves de consolider leurs nouvelles connaissances pour les approfondir en CM2.
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