Cours de tleS sur les application du produit scalaire – Terminale
Orthogonalité
Deux vecteurs sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.
On dit qu’un vecteur est normal au plan P si, et seulement si, quels que soient les points M et N du plan P, est orthogonal à.
Si le vecteur est normal à P, tout vecteur colinéaire à est aussi normal à P.
Pour que soit normal au plan (ABC), il suffit qu’il soit orthogonal à :
Deux plans P et P’ sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs normaux sont colinéaires. En pratique, il suffit qu’il existe deux vecteurs non nuls, l’un normal à P et l’autre normal à P’, et colinéaires entre eux.
Deux plans P et P’ sont perpendiculaires si, et seulement si, leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. En pratique, il suffit qu’il existe deux vecteurs non nuls, l’un normal à P, l’autre normal à P’, et orthogonaux entre eux.
Plans de l’espace
Soient A un point et un vecteur non nul de l’espace.
L’ensemble des points M de l’espace tels que est le plan passant par A et dont le vecteur est le vecteur normal.
Tout plan de l’espace a une équation du type ou a, b, c et d sont des réels.
De plus, le vecteur est un vecteur normal au plan.
Réciproquement, si le vecteur est normal à un plan P, alors celui-ci a une équation de forme
Projections orthogonales
D’un point sur un plan:
Soit A un point et P un plan ne contenant pas A. La droite perpendiculaire à P passant par A coupe P en H. H est la projection orthogonale de A sur P et par définition AH est la distance de A à P.
Quel que soit M de P, on a
D’un point sur une droite:
Soient A un point et D une droite ne contenant pas A. Le plan perpendiculaire à D contenant A coupe D en un point K.
K est le projeté orthogonal de A sur D.
Quel que soit M de D, on a :…
