Mettre en place des séances sur les propriétés des opérations en 6ème
En mathématiques, le sens de lecture ne suffit pas à déterminer l’opération à effectuer en premier. Des règles sont mises en place pour savoir dans quel ordre le calcul doit être fait. C’est ce qu’on appelle les propriétés des opérations. Elles sont importantes pour obtenir le bon résultat, notamment lorsque plusieurs opérateurs sont présents dans le même calcul. Connaître ces propriétés permet à certains automatismes de se mettre en place, toujours pour aller vers le même objectif : choisir les meilleures stratégies pour calculer au mieux et le plus rapidement possible. Comment enseigner les propriétés des opérations ? En les apprenant et en les différenciant. Elles induisent des priorités essentielles dans la recherche du résultat d’un calcul.
Quelles sont les propriétés d’opérations ?
Certaines propriétés sont communes à plusieurs opérations quand d’autres n’en concernent qu’une. Voici les 3 propriétés principales.
L’associativité
L’associativité est une propriété d’opérations qui concerne l’addition et la multiplication. C’est le fait de pouvoir changer l’ordre des nombres en les regroupant sans impacter le résultat de l’opération.
Prenons quelques exemples :
2 + (9 + 4) est pareil que (2 + 9) + 4
(4 x 6) x 2 est pareil que 4 x (6 x 2)
Elle ne s’appliquera pas dans le cas de la soustraction et de la division, car ce ne sont pas des opérations associatives. Changer l’ordre des nombres en les regroupant ne pourrait se faire sans modifier le résultat.
Par exemple :
(10 – 6) – 2 = 2 n’est pas pareil que 10 – (6 – 2) = 6
(10 / 5) / 2 = 1 n’est pas pareil que 10 / (5 / 2) = 4
Il est important d’appliquer l’associativité uniquement aux opérations qui le permettent.
La commutativité
Tout comme l’associativité, la commutativité ne s’emploie qu’avec l’addition et la multiplication. C’est l’action de modifier l’ordre des nombres sans que le résultat ne change.
Prenons un exemple :
2 + 9 est pareil que 9 + 2
4 x 6 est pareil que 6 x 4
Ou encore :
3 x 5 x 2 est pareil que 3 x 10
La soustraction et la division ne sont pas commutatives. Changer l’ordre des termes reviendrait à créer un nouveau calcul.
Par exemple :
12 – 6 = 6 alors que 6 – 12 = -6
12 / 6 = 2 alors que 6 / 12 = 0,5
La distributivité
La distributivité est une propriété qui s’applique à la multiplication. C’est le fait de distribuer un facteur aux autres termes de l’opération, que ce soit une addition ou une soustraction.
Par exemple :
2 x (9 + 6) = 2 x 9 + 2 x 6
2 x (9 – 6) = 2 x 9 – 2 x 6
Ce ne sera pas le cas de la division qui n’est pas une opération distributive.
Pour aller plus loin :
👉 notre cours sur la multiplication des nombres décimaux.
L’élément neutre
Comme son nom l’indique, l’élément neutre ne modifie pas le résultat. Pour l’addition il s’agira du 0 quand pour la multiplication il s’agira du 1.
Par exemple :
3 + 3 + 0 = 6 c’est pareil que 3 + 3
2 x 1 = 2
Pour la soustraction et la division, l’élément neutre n’existe pas.
L’élément absorbant
L’élément absorbant fait que le résultat est nécessairement 0. Dans le cas de la multiplication, il s’agira du 0. N’importe quel élément multiplié par 0 est égal à 0, qu’importe la grandeur de celui-ci.
Ces propriétés d’opérations permettent de faciliter un calcul qui paraît compliqué en première intention ou non faisable mentalement. Elles induisent également des priorités entre les opérations ainsi que dans le sens d’exécution du calcul.
Mettre en place des séances sur les propriétés d’opérations
Chaque propriété peut faire l’objet d’une séance à part entière.
L’intérêt est que les élèves puissent se familiariser avec chacune et sachent les manier individuellement. En connaissant chacune d’elles, ils peuvent faire un choix éclairé sur la propriété à utiliser dans le calcul à résoudre. À termes, ils doivent pouvoir s’orienter vers les bonnes propriétés et les appliquer dès qu’ils en ressentiront le besoin.
Les propriétés d’opération sont très utiles en calcul mental. Elles permettent de se représenter mentalement le calcul de manière plus simple afin d’être plus efficace dans sa réalisation.
Prenons un exemple :
102 x 42. Cela peut sembler difficile. Alors qu’en le décomposant grâce aux priorités vues précédemment, il peut se réaliser facilement.
42 x 100 + 42 x 2
= 4200 + 84
= 4284
Grâce à la commutativité et la distributivité, cette opération peut se réaliser mentalement tout en gagnant du temps grâce à l’application de la bonne stratégie. La séance de calcul mental en 6ème consistera à communiquer les différentes techniques aux élèves afin qu’ils se les approprient.
Changer l’ordre des nombres ou trouver un complément à 100 ou l’un de ses multiples sera toujours appréciable en calcul mental. Tant pour la compréhension du sens de l’opération que pour le gain de rapidité dans la réalisation du calcul.
Il y a plusieurs façons d’appréhender ces séances sur les propriétés des opérations.
D’une part, en étudiant les propriétés selon le type d’opérations, d’autre part, selon leur difficulté ou encore en se basant sur les priorités qui ne peuvent être dissociées de cet apprentissage.
Pour ce faire, deux moyens mnémotechniques sont enseignés en classe grâce à des acronymes. Ils permettent de se souvenir du nom de chacune des priorités ainsi que de leur ordre d’application. Ainsi, elles n’auront plus de secret pour les élèves, dès le début du cycle 3 !
👉 Pour vous inspirer, voici une séquence complète sur la priorité des opérations pour la 6ème.
La méthode PEMDAS et PAPUMDAS
PEMDAS ou PAPUMDAS sont des acronymes qui ont pour signification le nom des priorités. L’ordre dans lequel elles sont exprimées et celui dans lequel elles doivent être respectées lors d’un calcul.
PEMDAS : Parenthèses, Exposants, Multiplication, Division, Addition, Soustraction
PAPUMDAS : Parenthèses, Puissances, Multiplication, Division, Addition, Soustraction
À l’enseignant de choisir l’acronyme qui lui convient, sachant que les deux expriment la même réalité.
Les priorités se doivent d’être apprises par cœur pour être maîtrisées. Une erreur dans le choix du calcul à faire en premier peut fausser tout résultat. C’est pour cela qu’il est indispensable de passer du temps sur ces termes pour qu’ils puissent être appliqués et devenir un automatisme tant dans le calcul mental que le calcul posé.
Afin de revoir les bases, notamment en début d’année et s’appuyer sur des techniques vues au cycle précédent, découvrez notre article sur le calcul mental en CE2.
