Connaître les critères de divisibilité de 2 à 10
Les critères de divisibilité de 2 à 10 sont au programme du cycle 3. Leur apprentissage débute au CM1 et se poursuit au collège. Leur intérêt est multiple : les maîtriser permet d’accroître l’efficacité des calculs mentaux et de travailler plus tard la décomposition en facteurs premiers. Ces derniers aideront à trouver le plus petit commun multiple (PPCM) et le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux ou plusieurs nombres. La manipulation et la mémorisation de ces faits numériques sont donc indispensables. Pour connaître les critères de divisibilité 2, 3, 5, 9 et 10, un travail d’automatisation sera nécessaire. Les exercices de calcul mental et la résolution de problèmes y contribueront.
Progression d’apprentissage des critères de divisibilité de 2 à 10
Les prérequis
L’apprentissage des critères de divisibilité de 2 à 10 commence quand les élèves ont déjà entamé la mémorisation des tables de multiplication. La différence entre chiffre et nombre doit être acquise. L’identification du chiffre des unités, des dizaines, des centaines… d’un nombre est maîtrisée. La notion de nombres pairs et impairs est pratique pour se souvenir des critères de divisibilité par 2.
Les programmes
L’apprentissage des critères de divisibilité est inscrit au programme du cycle 3. La progression préconise d’aborder en période 3 du CM1, les critères de divisibilité par 2, 5 et 10. En CM2, en période 4, la liste des critères est complétée par 3 et 9. Selon les attendus des programmes de mathématiques en fin de CM2, au cycle 3, l’élève a donc découvert la notion de multiple et de diviseur d’un entier naturel d’usage courant. Il a mémorisé l’ensemble des critères de divisibilité de 2 à 10.Au collège, il poursuit le travail autour de la division, revoit les notions de cycle 3, ajoute notamment le critère de divisibilité par 4. Les notions de multiple et de diviseur sont étendues à l’ensemble des entiers naturels. En effet, au cycle 4, il s’agit de comprendre et d’utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers, et progressivement les notions de diviseur commun. Toutes ces notions sont mobilisées pour résoudre des problèmes.
Pistes de travail pour construire la notion des critères de divisibilité
Construire la notion avec l’approche Montessori
Le matériel utilisé est celui de la banque des perles. Dans un premier temps, l’étude porte sur le critère de divisibilité par 2. L’élève part d’un grand nombre tel que 527, et doit partager cette quantité en 2. Il doit alors noter s’il y a un reste ou non. Il enlève la perle restante et note si avec le nouveau nombre travaillé (526), il y a un reste. Il enlève de nouveau une perle puis partage la quantité en deux. Il prend de nouveau note de la présence d’un reste. Au final, sur son tableau, il pourra observer que les nombres pairs n’ont pas de reste et sont donc divisibles par 2 alors que les nombres impairs ne le sont pas. La même méthode pourra être utilisée pour le critère de divisibilité par 5. Cette méthode est décrite dans l’article sur les critères de divisibilité en atelier Montessori qui aborde également les critères de divisibilité par 3, 4 et 11.
Jouer au compte est bon
L’Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques de l’académie de Lyon propose de son côté de jouer au « compte est bon » pour construire les critères de divisibilité. Leur proposition de jeu s’adresse plutôt aux enseignants et élèves du collège, mais peut être abordée en fin de CM2. Ces chercheurs trouvent effectivement dommage que les critères de divisibilité soient apportés par l’enseignant et que le travail se limite ensuite à des exercices d’application. Ils souhaitent que les élèves prennent conscience que ces critères entrent en jeu dans les décompositions de nombres en facteurs. Ils invitent les élèves à expérimenter eux-mêmes l’efficacité de ces critères dans des stratégies de résolution de problème. L’utilisation de ces critères rend en effet les calculs plus rapides et performants.
💡Fiche CRPE pour trouver l’ensemble des diviseurs d’un nombre entier et séquence complète sur la division décimale niveau 6ème.
Les critères de divisibilité 2, 3, 5, 9 et 10 : trace écrite pour le cours de mathématiques
Définir les mots divisible, diviseur, multiple
Un nombre est divisible par un autre nombre si, après la division, il n’y a pas de reste.
Par exemple : 27 est divisible par 9 puisque 27 ÷ 3 = 9 et il n’y a pas de reste.
3 est alors un diviseur de 27. 9 est aussi un diviseur de 27.
Inversement, 27 est dit « multiple » de 3 (et de 9).
Lorsqu’on cherche les critères de divisibilité par un nombre, on cherche donc à savoir si un nombre donné peut être divisé par un autre nombre, en donnant un résultat entier, c’est-à-dire sans reste. On observe alors si des règles peuvent se dégager pour savoir si un nombre est divisible par un autre rapidement, sans même avoir à procéder à la division.
Critère de divisibilité par 2
Pour qu’un nombre soit divisible par 2, il doit être pair.
Son chiffre des unités doit donc être : 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemples : 3 728, 13 500 et 525 936 sont divisibles par 2.
Critère de divisibilité par 5
Pour qu’un nombre soit divisible par 5, son chiffre des unités doit être 0 ou 5.
Exemples : 6 975, 43 800 et 645 455 sont divisibles par 5.
Critère de divisibilité par 10
Un nombre est divisible par 10, si son chiffre des unités est 0.
Exemples : 380 est divisible par 10, car le chiffre des unités de 380 est 0.
Critère de divisibilité par 3
Les critères de divisibilité par 3 et par 9 nécessitent de connaître les tables de multiplication de 3 et de 9 pour être mis en application.
Un nombre est divisible par 3, si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
Exemples : 21 486 est divisible par 3, car 2 + 1 + 4 + 8 + 6 = 21, or 21 est divisible par 3 puisque 7 × 3 = 21.
Critère de divisibilité par 9
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 9. Exemples : 43 983 est divisible par 9, car 4 + 3 + 9 + 8 + 3 = 27 et 27 est divisible par 9 (9 x 3 = 27).
Au collège, les diviseurs comme 100, 4, 25, 8, 125,11 et 1 000 pourront être abordés.
💡 Téléchargez la séquence complète sur la division et les critères de divisibilité en 6ème.
La construction des critères de divisibilité plutôt que leur simple transmission aidera les élèves à mieux les mémoriser. Un travail d’entraînement régulier, tout au long des années de cycle 3 et 4 concernées, renforcera cette mise en mémoire. Des exercices sous forme de questions flash, sur ardoise ou fiches de calcul mental sont nécessaires mais insuffisants. La mise en application de ces faits numériques et procédures élémentaires de calcul lors de la résolution de problèmes viendra parfaire l’apprentissage.
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